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2017�N3��1���쐬

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��������2�‚̗������ɕ������邱�Ƃ͂ł����A4�搔��2�‚�4�搔�ɕ������邱�Ƃ͂ł����A �����荂���̂����Ȃ鎟���̗ݏ搔���A2�‚́A���������̗ݏ搔�ɕ������邱�Ƃ͂ł��Ȃ��B���͂��̂��Ƃ̐^�ɋ����ׂ��ؖ��𔭌��������A ���̗]���͂�����L���ɂ͋�������
�ƋL�����B���Ȃ킿 \[ X^n+Y^n=Z^n, n\geq 3, XYZ\neq 0 \] �ɉ����Ȃ����Ƃ��ؖ������Ǝ咣�����̂ł���B�������A�t�F���}�[�ɂ��ؖ��͌��݂̂Ƃ��둶�݂��m�F����Ă��Ȃ��B

�t�F���}�[�́u�Z�p�v�̎ʖ{�̕ʂ̉ӏ��Ɂu�ӂ̒������S�ėL�����Ŗʐς�1�̒��p�O�p�`�͑��݂��Ȃ��A����������� �ӂ̒��������ׂĐ����ŁA���–ʐς��������ƂȂ钼�p�O�p�`�͑��݂��Ȃ��v���Ƃ̏ؖ����L���Ă���B ����͏�L�̉��̌�������s������� \[ mn(m^2-n^2)=l^2 \] �̎��R���� $m, n, l$ �𔭌�������ƍl���邱�Ƃ��ł���B������ $k=\gcd(m, n) > 1$ �Ƃ���� $\gcd(m_0, n_0)= 1$ ���� $m_0=m/k, n_0=n/k, z_0=z/k^2$ �����̕������̎��R�����ƂȂ�B���������� $\gcd(m, n)=1$ �̏ꍇ���l���邱�ƂɋA������B

���̂Ƃ� $\gcd(m, m^2-n^2)=\gcd(n, m^2-n^2)= 1$ �ƂȂ�B �Ƃ����̂́A�Ⴆ�΂���f�� $p$ �� $m, m^2-n^2$ �����Ɋ���؂�Ȃ�� $p$ �� $m^2-(m^2- n^2)=n^2$ ���A�Ƃ������Ƃ� $n$ ��������؂��Ă��܂��A $\gcd(m, n)= 1$ �̏ꍇ�Ɍ��肵�����Ƃɔ����邩��ł���B

�����Ȃ�ƁA $m, n, m^2-n^2$ �͂��ׂĕ������ł���B���������� \[ m=X^2, n=Y^2, m^2-n^2= Z^2 \] �Ƃ����� $X, Y, Z$ �͕s������� \begin{equation} X^4-Y^4=Z^2 \end{equation} �̎��R�����ƂȂ�B���̕������ɔ񎩖��Ȏ��R���������݂��Ȃ���΁A ��̃t�F���}�[�̕������� $n=4$ �̂Ƃ��A�m���ɔ񎩖��Ȏ��R�����͑��݂��Ȃ��B�‚܂� �t�F���}�[�� $n=4$ �̂Ƃ��ɂ͎��g�́u�藝�v���ؖ����Ă������ƂɂȂ�B �Ȃ��A�ӂ̒������S�Đ����̒��p�O�p�`�̖ʐς͕������Ƃ͂Ȃ蓾�Ȃ����Ƃ� ����ȑO�Ƀt�B�{�i�b�`���咣���Ă������A���̏ؖ��͊��S�ł͂Ȃ������B

�t�F���}�[�͐������̒藝���ؖ������Ǝ咣�������A���̏ؖ��̖w�ǂ͌��݂ł͑��݂��m�F�ł��Ȃ��B �������A���̒��p�O�p�`�̒藝�͑��݂��m�F�ł�����ɐ����Ȃ����̂̈�‚ł���B

����A��N�t�F���}�[�̎咣�����藝��\�z�����������I�C���[�� \begin{equation} X^4+Y^4=Z^2 \end{equation} �ɂ͔񎩖��Ȏ��R�����͑��݂��Ȃ����Ƃ��ؖ������B����͂�͂�t�F���}�[�̕������� $n=4$ �̏ꍇ���܂�ł���B

�t�F���}�[�̎咣�����A���̒藝��\�z�͂��ׂČ�N�ɐ^�U�������������A�t�F���}�[�\�z�͍Ō�܂� �^�U���������Ȃ��܂܎c�������߁A�t�F���}�[�̍ŏI�藝�ƌĂ΂��Ɏ������B

�I�C���[�́A�ł������̒Ⴂ�ꍇ�A�‚܂� \[ X^3+Y^3=Z^3 \] �ɔ񎩖��ȉ������݂��Ȃ����Ƃ��ؖ������Ǝ咣�������A���̏ؖ��ɂ͕s���S�ȓ_���������B�I�C���[�� ���f���͈̔͂ň��������������A�I�C���[�̍l�����͈͂ł͑f���������̈�Ӑ������藧���Ȃ��̂ł���B �������A�͈͂�ς��邱�Ƃőf���������̈�Ӑ������藧�‚悤�ɂł��A���� $n=3$ �̂Ƃ��ɂ� �����������݂��Ȃ����Ƃ��킩��B

�Ȃ��A $n=3, 4$ �̏ꍇ�ɔ񎩖��ȉ������݂��Ȃ����Ƃ���A $n$ �� $3, 4$ �̔{���ł���Ƃ��ɂ� �񎩖��ȉ������݂��Ȃ����Ƃ��킩��B�Ⴆ�� \[ X^{3m}+Y^{3m}=Z^{3m} \] �Ȃ�΁A \[ (X^m)^3+(Y^m)^3=(Z^m)^3 \] �ƂȂ邪�A����ɂ͔񎩖��ȉ������݂��Ȃ��̂�����A $n=3m$ �̂Ƃ��ɂ����͑��݂��Ȃ��̂ł���B

�t�F���}�[�\�z�͍ŏI�I��1995�N�ɉ�������邪�A���̌�̌����ɂ‚��Ă̒ʎj�I�ȉ���͑��ɏ���Ƃ��āA �����ł́A���ۂ� $n=4$ �̂Ƃ��ɔ񎩖��ȉ������݂��Ȃ����Ƃ������Ă݂悤�B���͂��̏ꍇ�́A �s�^�S���X�������̉��̌�����p���āA�񎩖��ȉ������݂��Ȃ����Ƃ� ��r�I�ȒP�ɏؖ��ł���̂ł���B


$X^4-Y^4=Z^2$ �͔񎩖��ȉ��������Ȃ�

�܂��A�O�ɏ������悤�ɁA�t�F���}�[���񎩖��ȉ������݂��Ȃ����Ƃ��ؖ����������� (1) �ɂ‚��čl����B���̕����������̐����������‚Ɖ��肵�A���̒��� $x$ ���ŏ��ƂȂ���̂� $(x, y, z)$ �Ƃ����B

$x, y$ ������ $d$ �Ŋ���؂��Ƃ� $x^4-y^4$ �� $d^4$ �Ŋ���؂��̂� $z$ �� $d^2$ �Ŋ���؂��B ������ $d > 1$ �Ȃ�� $(X, Y, Z)=(x/d, y/d, z/d^2)$ ����L�̕������̐��̐������ƂȂ邪�A����� $(x, y, z)$ ���ŏ��̐��̐������ł��邱�Ƃɖ������邩�� $d=1$ �łȂ���΂Ȃ�Ȃ��B�‚܂� $\gcd(x, y)=1$ �ł���B

����� $x^2, y^2$ ���݂��ɑf�ł��邩��A�s�^�S���X�������̉��̌������ \begin{equation} x^2=m^2+n^2, y^2=m^2-n^2, z=2mn \end{equation} �܂��� \begin{equation} x^2=m^2+n^2, y^2=2mn, z=m^2-n^2 \end{equation} �ƂȂ�B������ $m > n$ �݂͌��ɑf�ȁA���̐����ł���B

(3) �̏ꍇ�A \[m^4-n^4=(xy)^2\] �ƂȂ�̂� $(X, Y, Z)=(m, n, xy)$ �� (1) �̉��ƂȂ邪�A $m \lt x$ ������ $X=x$ �� (1) �𖞂����ŏ��̐��� $X$ �ł��邱�Ƃɖ������Ă��܂��B����� (3) �͂��肦�Ȃ��B

(4) �̏ꍇ $m, n$ �݂͌��ɑf�ł��邩�� $x^2=m^2+n^2$ �� �s�^�S���X�������̉��̌�����p���� \[ m=r^2-s^2, n=2rs \] �܂��� \[ m=2rs, n=r^2-s^2 \] �𓾂�B������ $r > s$ �͂�͂�݂��ɑf�ȁA���̐����ł���B������̏ꍇ�� \[ y^2=4rs(r^2-s^2) \] �����藧�B������ $r, s, r^2-s^2$ �͂ǂ�2�‚��݂��ɑf�łȂ���΂Ȃ�Ȃ��B�Ƃ����̂́A ���Ƃ��� $r, r^2-s^2$ �����ɂ���f�� $p$ �Ŋ���؂��Ȃ�� $s^2=r^2-(r^2-s^2)$ �� $p$ �Ŋ���؂�邩�� $r, s$ ������ $p$ �Ŋ���؂�Ȃ���΂Ȃ�Ȃ����A $r, s$ �݂͌��ɑf�Ȃ̂� ���̂悤�Ȃ��Ƃ͋N���蓾�Ȃ�����ł���B�����3�‚̐� \[ r, s, r^2-s^2 \] �͋��ɕ������ł���B������ $r=t^2, s=u^2, r^2-s^2=v^2$ �Ƃ����� \[ v^2=r^2-s^2=t^4-u^4 \] ��� $(X, Y, Z)=(t, u, v)$ �� $t \lt r \lt y \lt x$ ���A��͂� $x$ �̍ŏ����ɖ�������B���������� (4) �����肦�Ȃ��B

�����̂��Ƃ��� (1) �͔񎩖��ȉ��������Ȃ����Ƃ�������̂ł���B


$X^4+Y^4=Z^2$ �͔񎩖��ȉ��������Ȃ�

�I�C���[�� (2) ���񎩖��ȉ��������Ȃ����Ƃ��������B������̏ؖ��͂���ɊȒP�ł���B (2) �̐��̐������� $Z$ ���ŏ��ƂȂ���̂� $(x, y, z)$ �Ƃ����B

��͂� $x^2, y^2$ �݂͌��ɑf�ł��邩��A�s�^�S���X�������̉��̌������ \begin{equation} x^2=m^2+n^2, y^2=2mn, z=m^2+n^2 \end{equation} �܂��� \begin{equation} x^2=2mn, y^2=m^2-n^2, z=m^2+n^2 \end{equation} �ƂȂ�A�݂��ɑf�Ȑ��̐��� $m, n$ ���Ƃ��B

������̏ꍇ�� $m^2-n^2, 2mn$ �͋��ɕ������ł���A ���Œ݂��ɑf�ł���B���������� $m^2-n^2$ �͊�̕������ł���B������s�^�S���X�������̉��̌������ \[ m=r^2+s^2, n=2rs \] �ƂȂ�A�݂��ɑf�Ȑ��̐��� $r, s$ ���Ƃ��B������ $2mn$ ���������ł��邱�Ƃ��v���o���� \[ rs(r^2+s^2)=mn/2 \] ���������ł���B

�Ƃ���� $r, s, r^2+s^2$ �͂ǂ�2�‚��݂��ɑf�łȂ���΂Ȃ�Ȃ��B�Ƃ����̂́A ���Ƃ��� $r$ �� $r^2+s^2$ �����ɑf�� $p$ �Ŋ���؂ꂽ�Ƃ���� $s^2=(r^2+s^2)-r^2$ �� $p$ �Ŋ���؂�A����� $s$ �� $p$ �Ŋ���؂�Ȃ���΂Ȃ�Ȃ����A $r, s$ �݂͌��ɑf�ł��邱�Ƃ� �������Ă��܂�����ł���B

����� $r, s, r^2+s^2$ �͂�������������ł���B������ $r=t^2, s=u^2, r^2+s^2=v^2$ �Ƃ����� \[ t^4+u^4=r^2+s^2=v^2 \] �ƂȂ�B����� $(X, Y, Z)=(t, u, v)$ �� (2) �̐��̐������ł���B�������A����� $v\lt v^2=r^2+s^2=m\lt z$ ��� $z$ �̍ŏ����ɔ�����B

�������� (2) �����̐������������Ȃ����Ƃ������ꂽ�̂ł���B

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�Ǘ��� Tomohiro Yamada : JawaNote v1.41 [Shigeto Nakazawa], revised by Tomohiro Yamada